Sekcja 0: Podstawy Matematyczne

1. Algebra wektorowa

Dane są dwa wektory w przestrzeni trójwymiarowej: \(\vec{a} = [2, 1, -3]\) oraz \(\vec{b} = [4, -2, 1]\). Oblicz:

a) Długość (moduł) każdego z wektorów.

b) Iloczyn skalarny \(\vec{a} \cdot \vec{b}\).

c) Iloczyn wektorowy \(\vec{a} \times \vec{b}\).

d) Kąt między wektorami \(\vec{a}\) oraz \(\vec{b}\).

2. Układy równań

Wyznacz wartości \(x\) oraz \(y\), które spełniają jednocześnie równania: \(2x + 3y = 12\) oraz \(x - y = 1\).

3. Proporcjonalność

Rozważ Prawo Powszechnego Ciążenia: \(F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}\), gdzie \(F\) jest siłą grawitacyjną między dwiema masami \(m_1\) oraz \(m_2\), \(r\) jest odległością między ich środkami, a \(G\) jest stałą grawitacyjną. Wyznacz czynnik, przez który zmieni się siła \(F\), jeśli odległość \(r\) zostanie podwojona, a obie masy (\(m_1\) oraz \(m_2\)) zostaną zmniejszone o połowę.

4. Przekształcanie wzorów

Wzór na okres wahadła matematycznego ma postać \(T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\). Przekształć to równanie tak, aby wyrazić \(g\) (przyspieszenie ziemskie).

5. Trygonometria

Wektor \(\vec{A}\) ma długość \(15\) i tworzy z osią poziomą kąt \(\theta = 60^\circ\). Oblicz jego składową poziomą oraz pionową.

6. Analiza funkcji

Rozważ funkcję \(f(x) = 3x^2 - 12x + 7\). Wyznacz jej ewentualne maksima lub minima lokalne.

7. Logika i szeregi

Rower znajduje się w odległości 10 metrów od ściany i porusza się w jej kierunku ze stałą prędkością \(1\text{ m/s}\). Mucha startuje z przedniego koła roweru i leci w kierunku ściany z prędkością \(2\text{ m/s}\). Gdy uderza w ścianę, natychmiast zawraca i leci z powrotem do roweru itd. Jaka jest całkowita droga przebyta przez muchę zanim zostanie zgnieciona?

8. Całki oznaczone

Oblicz pole pod wykresem funkcji \(f(x) = \sin(x)\) w przedziale od \(x=0\) do \(x=\pi\).

9. Zadanie optymalizacyjne

Prostokąt jest wpisany pod wykres funkcji \(y = 3 - x^2\) w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Jakie są wymiary prostokąta o maksymalnym polu?

10. Szereg nieskończony

Wyznacz położenie końcowe mrówki, która startuje z początku układu współrzędnych i porusza się według następującego schematu: 1 m na wschód, 1/2 m na północ, 1/3 m na zachód, 1/4 m na południe, 1/5 m na wschód, i tak dalej.