Sekcja 1: Mechanika I

1. Rzut ukośny

Ciało zostaje wystrzelone z powierzchni ziemi z prędkością początkową $100 \text{ m/s}$ pod kątem $37^\circ$ względem poziomu. Przyjmij brak oporu powietrza. * Wyprowadź równania różniczkowe ruchu w kierunku poziomym i pionowym. * Wyznacz czas lotu. * Wyznacz maksymalną wysokość. * Wyznacz zasięg.

2. Optymalizacja zasięgu

Dla rzutu ukośnego wykaż analitycznie, że maksymalny zasięg $R(\theta)=\frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} $ dla zadanej prędkości początkowej jest osiągany przy kącie wyrzutu równym $45^\circ$.

3. Przecięcie torów ruchu

Alicja porusza się po torze opisanym równaniem $A(t) = (2+t, 8-3t)$, a Bob porusza się po torze $B(t) = (2t-1, 2t+2)$. Ustal, czy ich tory się przecinają. Jeśli tak, wyznacz kiedy i gdzie dojdzie do zderzenia. Jeśli nie, wyznacz minimalną odległość między nimi oraz moment, w którym ona występuje.

4. Rachunek wektorowy

Położenie obiektu dane jest wzorem $\vec{r}(t) = (3t^2)\hat{i} + (5t - 8t^2)\hat{j}$. Wyznacz wektory prędkości i przyspieszenia obiektu w funkcji czasu.

5. Prędkość względna

Rzeka płynie na wschód z prędkością $2 \text{ m/s}$. Łódź, która w nieruchomej wodzie może poruszać się z prędkością $5 \text{ m/s}$, chce przepłynąć rzekę dokładnie na północ. W jakim kierunku (pod jakim kątem) powinna się skierować? Jak długo potrwa przepłynięcie rzeki o szerokości 200 metrów?

6. Zmienna prędkość

Prędkość obiektu dana jest wzorem $v(t) = t^2 + 2t - 5$. Jeśli w chwili $t=0$ obiekt znajdował się w punkcie $x=4$, jakie jest jego położenie oraz przyspieszenie w chwili $t=3$?

7. Eliminacja czasu i interpretacja przyspieszenia

Równanie toru ruchu dane jest w postaci parametrycznej:

\[ x(t)=2t^2, \qquad y(t)=3t^3 \]

Wyeliminuj parametr $t$.
Narysuj trajektorię.
Oblicz $\vec v(t)$, $|\vec v(t)|$, $\vec a(t)$ oraz $|\vec a(t)|$.
Czy przyspieszenie jest stałe?

8. Ruch po okręgu

Oblicz przyspieszenie dośrodkowe osoby stojącej na równiku Ziemi. Promień Ziemi wynosi w przybliżeniu 6378 km.

9. Porównanie pędu

Które ciało ma większy pęd: mucha o masie 2 gramów lecąca z prędkością $10$ m/s czy piłka tenisowa o masie 60 gramów poruszająca się z prędkością $1$ m/s?

10. Kinematyka

Punkt M porusza się zgodnie z równaniem:

\[ \vec{r}(t) = (a \cos(\omega t), b \sin(\omega t), bt) \]

gdzie $a, b, \omega$ są dodatnimi stałymi.

a) Wyznacz równanie trajektorii punktu,

b) Oblicz długość drogi przebytej przez punkt w przedziale czasu od $t=0$ do $t=t_0$,

c) Narysuj trajektorię tego punktu przy użyciu Pythona lub interaktywnego HTML. Omów przypadki szczególne.