Sekcja 2: Mechanika II
1. Zależność od grawitacji
Wahadło matematyczne ma na Ziemi okres równy 4 s. Jaki będzie jego okres na Księżycu, gdzie przyspieszenie grawitacyjne wynosi około 1/6 wartości ziemskiej?
Jaka powinna być długość wahadła matematycznego, aby miało na Ziemi okres dokładnie 1 s?
2. Ruch harmoniczny
Masa 10 kg jest przymocowana do sprężyny i drga zgodnie z równaniem \(x(t) = 0.2 \cos(10\pi t)\) (w metrach). Jaka jest stała sprężystości \(k\)? Jaka jest całkowita energia mechaniczna układu?
3. Zasada zachowania energii
Wahadło o długości 1.0 m zostaje puszczone z początkowego wychylenia o kąt \(15^\circ\). Jaka jest prędkość ciężarka w dolnym położeniu podczas ruchu?
4. Energia i pęd
Klocek o masie 0.5 kg zsuwa się bez tarcia z toru z wysokości 3.0 m. Na dole zderza się i przykleja do klocka o masie 1.5 kg, który początkowo spoczywa. Jaka jest prędkość złożonej masy bezpośrednio po zderzeniu?
5. Zderzenie nieelastyczne
Biegacz o masie 70 kg poruszający się z prędkością \(3 \text{ m/s}\) wskakuje na nieruchomy wózek o masie 140 kg. Jaka jest końcowa prędkość wózka z biegaczem? Czy energia kinetyczna jest zachowana w tym zderzeniu? Uzasadnij.
6. Rozpraszanie energii
Piłka tenisowa zostaje upuszczona z wysokości \(2.0\) m. Po każdym odbiciu traci 30% swojej energii mechanicznej. Na jaką wysokość wzniesie się po drugim odbiciu?
7. Dynamika z tarciem
Klocek o masie 5 kg leży na klocku o masie 10 kg. Do klocka 10 kg przyłożona jest pozioma siła 45 N, natomiast klocek 5 kg jest przywiązany do ściany. Współczynnik tarcia kinetycznego między wszystkimi poruszającymi się powierzchniami wynosi 0.2. Wyznacz przyspieszenie klocka 10 kg.
8. Praca siły zmiennej
Dana jest jednowymiarowa siła:
- Zapisz równanie ruchu i rozwiąż je.
- Oblicz pracę wykonaną podczas przemieszczenia od \(0\) do \(x_0\).
- Zinterpretuj wynik jako energię potencjalną.
- Zweryfikuj zależność \(F = -\frac{dU}{dx}\).
- Narysuj wykresy \(F(x)\) oraz \(U(x)\).
9. Rzut pionowy z oporem
Dane jest równanie ruchu:
z warunkami początkowymi \(v(0)=v_0\), \(x(0)=10\).
- Rozwiąż równanie metodami analitycznymi.
- Wyznacz wysokość maksymalną.
- Porównaj z przypadkiem bez oporu.
- Wykonaj symulację numeryczną w HTML lub Pythonie.
10. Pole sił i moc
W pewnym polu sił równania ruchu cząstki o masie \(m=0.5\) kg są następujące:
Wyznacz zależność czasową: prędkości cząstki, pędu cząstki, przyspieszenia cząstki, siły działającej na cząstkę oraz mocy przekazywanej przez pole cząstce.
11. Dynamika z siłą zależną od czasu
Cząstka o masie \(m=3\) kg porusza się w polu sił \(F\) zależnym od czasu w następujący sposób:
Zakładając warunki początkowe \(r_0=(5,2,-3)\) m, \(v_0=(2,0,1)\) m/s, wyznacz zależność położenia i prędkości cząstki od czasu.
12. Praca i energia przy stałej sile
Na ciało o masie \(m = 2\ \mathrm{kg}\) działa stała siła:
Ciało startuje z prędkością początkową \(\vec v(0) = (1, -1)\ \mathrm{\frac{m}{s}}\) z punktu \(\vec r(0)=(0,0)\ \mathrm{m}\). * Wyznacz \(\vec a(t)\). * Wyznacz \(\vec v(t)\). * Wyznacz \(\vec r(t)\). * Narysuj trajektorię ruchu. * Oblicz pracę wykonaną przez siłę w chwili \(t=3\ \mathrm{s}\). * Sprawdź zgodność z twierdzeniem o pracy i energii.