Sekcja 3: Fale

1. Własności fal

Fala dźwiękowa w powietrzu ma częstotliwość 440 Hz. Jeśli prędkość dźwięku w powietrzu wynosi 343 m/s, jaka jest jej długość fali? Jaka jest jej długość fali w wodzie, gdzie prędkość dźwięku wynosi 1482 m/s?

2. Harmoniczne na strunie

Struna gitary ma długość 64 cm i częstotliwość podstawową (jedna strzałka) równą 330 Hz. Jaka jest prędkość fali na tej strunie?

3. Zasada superpozycji

Dwie fale opisane są równaniami \(y_1(x, t) = A \sin(kx - \omega t)\) oraz \(y_2(x, t) = A \sin(kx + \omega t)\). Jakie jest równanie powstałej fali stojącej? Wyznacz położenia węzłów.

4. Różnica faz

Jaka jest różnica faz (w radianach) między dwoma punktami fali oddalonymi o \(\lambda/3\)?

5. Pomiar odległości metodą echa

Osoba krzyczy w kierunku klifu i słyszy echo po 1 sekundzie. Jak daleko znajduje się klif? (Prędkość dźwięku w powietrzu wynosi 343 m/s).

6. Równanie fali

Fala opisana jest równaniem \(y(x,t) = 0.05 \sin(2\pi x - 50\pi t)\), gdzie \(x\) i \(y\) są wyrażone w metrach, a \(t\) w sekundach. Wyznacz:

a) Amplitudę \(A\).

b) Długość fali \(\lambda\).

c) Częstotliwość \(f\).

d) Prędkość rozchodzenia się fali \(v\).

7. Mody fali stojącej

Na strunie o długości \(L = 80\) cm wytworzono falę stojącą z czterema strzałkami. Jaka jest długość fali?

8. Fale

Które z poniższych funkcji mogą opisywać falę biegnącą? Wskazówka: sprawdź, czy spełniają równanie falowe

\[\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}\]

a) \(y(x,t) = A \cos(kx^2 - \omega t)\)

b) \(y(x,t) = A(x-vt)^2\)

c) \(y(x,t) = A \log(x+vt)\)

9. Oscylator tłumiony

Dla równania opisującego tłumiony oscylator harmoniczny:

\[ m \frac{d^2 x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + k x = 0 \]

stwórz interaktywną animację HTML z suwakiem parametru \(b\), aby pokazać zachowanie układu w przypadkach: niedotłumionym, krytycznie tłumionym oraz przetłumionym. Dołącz wykresy \(x(t)\) oraz portret fazowy dla każdego przypadku.

1. Zapisz rozwiązanie ogólne.
2. Przedstaw klasyfikację przypadków: niedotłumiony, krytycznie tłumiony, przetłumiony.
3. Rozwiąż równanie numerycznie (RK4).
4. Zbadaj wpływ parametru \(b\).
5. Wygeneruj wykres \(x(t)\).
6. Wygeneruj portret fazowy.

10. Animacja: Źródła fal

Napisz animację HTML, w której można rozmieszczać punkty pełniące rolę źródeł fal opisanych równaniem:

\[ u(\vec{r},t) = \frac{A}{|\vec{r}-\vec{r_0}|^\alpha} \sin(k |\vec{r} - \vec{r_0}| - \omega t) \]

gdzie \(\vec{r_0}\) jest położeniem punktu, a \(\alpha\) jest parametrem, który można ustawiać w zakresie \([0, 2]\). Animacja powinna pokazywać superpozycję fal od wszystkich punktów.

11. Animacja: Interferencja dwóch szczelin

Napisz animację HTML symulującą doświadczenie Younga, w którym dwie szczeliny działają jako punktowe źródła fal koherentnych. Wychylenie fali wypadkowej jest sumą fal cząstkowych opisanych wzorem:

\[ u(\vec{r},t) = \frac{A}{|\vec{r}-\vec{r_1}|} \sin(k |vec{r} - \vec{r_1}| - \omega t) + \frac{A}{|\vec{r}-\vec{r_2}|} \sin(k |vec{r} - \vec{r_2}| - \omega t) \]

gdzie \(\vec{r_1}\) oraz \(\vec{r_2}\) są wektorami położeń szczelin. Użytkownik powinien mieć możliwość zmiany odległości między szczelinami \(d = |\vec{r_1} - \vec{r_2}|\) oraz długości fali \(\lambda\). Animacja powinna wizualizować w czasie rzeczywistym powstający obraz interferencyjny.