Przejdź do treści

Sekcja 8: Astronomia i astrofizyka

1. Prędkość obrotowa

Oblicz prędkość liniową (w km/s) punktu na równiku Ziemi wynikającą z jej obrotu. Promień Ziemi \(\approx 6378\) km.

2. Mechanika orbit

Oblicz prędkość orbitalną Międzynarodowej Stacji Kosmicznej (ISS), która krąży na wysokości około 400 km nad powierzchnią Ziemi. (Masa Ziemi \(M_E \approx 5.97 \times 10^{24}\) kg). Porównaj tę prędkość z prędkością orbitalną Ziemi wokół Słońca (odległość Ziemia–Słońce \(\approx 150 \times 10^6\) km, okres obiegu Ziemi \(\approx 365.25\) dni). Co porusza się szybciej: ISS wokół Ziemi czy Ziemia po swojej orbicie wokół Słońca?

3. Mikrograwitacja

Jakie jest przyspieszenie grawitacyjne (\(g\)) na wysokości orbity ISS (400 km)? Dlaczego astronauci doświadczają stanu „nieważkości” mimo istnienia tej grawitacji?

4. Orbita geostacjonarna

Satelity na orbicie geostacjonarnej pozostają nad tym samym punktem na Ziemi. Jaki musi być ich okres orbitalny? Oblicz wysokość orbity geostacjonarnej nad powierzchnią Ziemi.

5. Prędkość ucieczki

Jaka jest prędkość ucieczki z powierzchni Księżyca? (Masa Księżyca \(M_M \approx 7.35 \times 10^{22}\) kg; promień Księżyca \(R_M \approx 1,737\) km). Podaj wynik w km/s oraz jako ułamek prędkości ucieczki z Ziemi (prędkość ucieczki z Ziemi \(\approx 11.2\) km/s).

6. Grawitacja Słońca

Oblicz przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni Słońca. Ile razy wzrosłaby Twoja waga, gdybyś mógł stanąć na jego powierzchni? (Masa Słońca \(M_S \approx 2 \times 10^{30}\) kg; promień Słońca \(R_S \approx 6.96 \times 10^8\) m).

7. Megastruktury

„Sfera Dysona” to hipotetyczna megastruktura całkowicie otaczająca gwiazdę w celu przechwycenia jej mocy promieniowania. Jeśli do budowy sfery paneli słonecznych użyto by masy Merkurego (\(3.3 \times 10^{23}\) kg) przy gęstości powierzchniowej 10 kg/m², jaki byłby promień takiej sfery?

8. Podróże międzyplanetarne

Ile czasu zajęłoby dotarcie z Ziemi na Marsa, gdy Mars znajduje się w minimalnej odległości (55 milionów km)

a) dla wiadomości wysłanej z prędkością światła?

b) dla statku kosmicznego poruszającego się ze stałą prędkością 40,000 km/h = 11.11 km/s?

c) dla „samolotu” lecącego ze stałą prędkością 900 km/h, typową dla lotów międzykontynentalnych?

9. Metoda Arystarcha

Arystarch z Samos (310–230 p.n.e.) był starożytnym greckim astronomem, który próbował wyznaczyć względne odległości i rozmiary Słońca oraz Księżyca metodami geometrycznymi opartymi na obserwacjach faz Księżyca.

W chwili dokładnej połowy fazy Księżyca (dychotomii) układ Ziemia–Księżyc–Słońce tworzy trójkąt prostokątny, w którym kąt prosty znajduje się przy Księżycu. Separacja kątowa między Słońcem a Księżycem obserwowana z Ziemi w tej chwili wynosi \(\theta = 89.85^\circ\). Pozorna średnica kątowa zarówno Słońca, jak i Księżyca wynosi \(\alpha = 0.53^\circ\). Średnia odległość Ziemia–Księżyc to \(d_{EM} = 3.84 \times 10^5\,\text{km}\).

Oblicz:

  1. Odległość Ziemia–Słońce \(d_{ES}\) w km.

  2. Rzeczywistą średnicę Słońca \(D_S\) w km (użyj przybliżenia małego kąta \(\alpha \approx D/d\), gdzie \(\alpha\) jest wyrażone w radianach).

  3. Stosunek rzeczywistych średnic \(\frac{D_M}{D_S}\).

  4. O ile zmienia się wartość \(d_{ES}\), jeśli użyje się \(\theta = 89.75^\circ\) (wartości historycznie cytowanej i przypisywanej Arystarchowi z Samos) zamiast \(89.85^\circ\). Krótko skomentuj czułość wyniku na pomiar kąta oraz co to implikuje dla metody Arystarcha.

10. Pomiar wysokości atmosfery

Średniowieczny astronom z Andaluzji, Al-Zarkali (Arzachel) (1029–1087 n.e.), próbował oszacować wysokość ziemskiej atmosfery metodą geometryczną opartą na czasie zachodu Słońca. Zmierzył odstęp czasu między zachodem Słońca a chwilą, gdy po raz pierwszy stawały się widoczne słabe gwiazdy, zakładając, że odpowiada to osiągnięciu przez Słońce rzeczywistego geometrycznego kąta depresji \(\phi\) poniżej horyzontu. Kronika podaje, że podczas pogodnego wieczoru czas między zachodem Słońca a pierwszym pojawieniem się słabych gwiazd wynosił \(t = 40\) minut.

Załóż: - promień Ziemi \(R_E = 6370\,\text{km}\), - tempo obrotu Ziemi: pełen obrót w 24 godziny (tj. \(360^\circ\) w 24 godziny), - prosty model „atmosfery o ostrej granicy”, w którym promień Słońca dociera do obserwatora, ledwie muskając górną granicę atmosfery, co prowadzi do zależności

\[\cos\phi = \frac{R_E}{R_E+h}.\]

Wyznacz:

  1. Kąt depresji Słońca \(\phi\) (w stopniach) wynikający ze zmierzonego czasu \(t\).

  2. Wysokość atmosfery \(h\) w km.