Sekcja 11: Fizyka Współczesna

1. Długość fali de Broglie’a

Oblicz długość fali de Broglie’a elektronu o energii kinetycznej 150 eV.
Oblicz długość fali de Broglie’a piłeczki golfowej o masie 50 gramów poruszającej się z prędkością 60 m/s.
Dlaczego efekty kwantowe nie są zauważalne dla obiektów makroskopowych?

2. Wytwarzanie promieniowania rentgenowskiego

Jaką minimalną różnicę potencjałów należy przyłożyć do lampy rentgenowskiej, aby otrzymać promieniowanie X o długości fali \(0.01\) nm? (Wskazówka: użyj wzorów \(E = hf\) oraz \(E = qV\)).

3. Zjawisko fotoelektryczne

Praca wyjścia potasu wynosi 2.3 eV. Jaka jest maksymalna energia kinetyczna elektronów wybitych z potasu, gdy jest on oświetlany promieniowaniem ultrafioletowym o długości fali 350 nm?

4. Promień orbity i moment pędu

Korzystając z modelu Bohra, wyznacz promień orbity oraz moment pędu elektronu w atomie wodoru dla stanu \(n=2\). Wyraź promień w metrach oraz w jednostkach promienia Bohra

\[ a_0 = \frac{4 \pi \varepsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2}, \]

a moment pędu wyraź w jednostkach \(\hbar\).

5. Zasada Heisenberga

Korzystając z zasady nieoznaczoności Heisenberga (\(\Delta x \Delta p \ge \hbar/2\)), jaka jest minimalna niepewność prędkości elektronu uwięzionego w obszarze przestrzeni o szerokości 0.1 nm (co jest w przybliżeniu rozmiarem atomu)?

6. Liczby kwantowe

Dla poziomu energetycznego \(n=3\) w atomie wodoru, jakie są możliwe wartości liczb kwantowych \(l\) (orbitalnej) oraz \(m_l\) (magnetycznej)? Ile różnych stanów elektronowych istnieje dla \(n=3\)?

7. Widmo emisyjne wodoru

Oblicz energię fotonu emitowanego przez atom wodoru, gdy elektron przechodzi ze stanu \(n=4\) do stanu \(n=2\). Jaka jest długość fali tego fotonu? Jaki jest kolor tego światła w zakresie widzialnym? (Wskazówka: użyj wzoru Rydberga dla poziomów wodoru: \(E_n = -13.6\,\text{eV}/n^2\)).

8. Widmo studni kwantowej

Elektron znajduje się w jednowymiarowej nieskończonej studni potencjału o szerokości \(L = 0.5\) nm. Jaka jest długość fali fotonu emitowanego przy przejściu elektronu ze stanu \(n=4\) do stanu \(n=2\)?

9. Anihilacja par

Elektron i pozyton, każdy o masie spoczynkowej \(0.511 \text{MeV/c}^2\), anihilują, wytwarzając dwa fotony o jednakowej energii. Jaka jest energia (w MeV) i długość fali każdego z tych fotonów?

10. Okres połowicznego zaniku

Okres połowicznego zaniku kobaltu-60 wynosi 5.27 roku. Jeśli próbka początkowo zawiera 100 gramów kobaltu-60, ile pozostanie po około 21 latach?

11. Rozpad alfa

Podaj konkretne, zbilansowane równanie jądrowe procesu rozpadu alfa, zaczynając od uranu-238 (\({}^{238}_{92}\text{U}\)).

12. Rozpad beta

Podaj konkretne, zbilansowane równanie jądrowe procesu rozpadu beta-minus, zaczynając od węgla-14 (\({}^{14}_{6}\text{C}\)).

13. Prawdopodobieństwo funkcji falowej

Dla cząstki w jednowymiarowym pudełku o długości \(L\), funkcja falowa stanu podstawowego ma postać \(\Psi(x) = \sqrt{2/L} \sin(\pi x/L)\). Oblicz prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w obszarze \(0 \le x \le L/4\). Następnie oblicz prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w obszarze \(L/4 \le x \le L/2\). W którym obszarze bardziej prawdopodobne jest znalezienie cząstki?

14. Bramka Hadamarda i stan „kota Schrödingera”

Stany bazowe qubitu można zapisać jako wektory kolumnowe:

\[ |0\rangle = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}, \qquad |1\rangle = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}. \]

Na stan \(|0\rangle\) działa bramka Hadamarda \(H\), opisana następującą macierzą \(2\times 2\):

\[ H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}. \]

Pokaż, że po zadziałaniu bramki Hadamarda stan końcowy ma postać

\[ |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle. \]

Następnie wyjaśnij, dlaczego taki stan jest superpozycją dwóch stanów bazowych i dlaczego bywa opisywany, w sensie obrazowym, jako stan „kota Schrödingera”.